Eksponentiel fordeling (definition, formel) | Sådan beregnes?

Hvad er eksponentiel distribution?

Den eksponentielle fordeling henviser til den kontinuerlige og konstante sandsynlighedsfordeling, der faktisk bruges til at modellere den tidsperiode, som en person har brug for at vente, før den givne begivenhed sker, og denne fordeling er en kontinuerlig modstykke til en geometrisk fordeling, der i stedet er distinkt.

Eksponentiel distributionsformel

En kontinuerlig tilfældig variabel x (med skalaparameter λ> 0) siges kun at have en eksponentiel fordeling, hvis dens sandsynlighedsdensitetsfunktion kan udtrykkes ved at multiplicere skalaparameteren til den eksponentielle funktion af minus skalaparameter og x for alle x større end eller lig med nul, ellers er sandsynlighedsdensitetsfunktionen lig med nul.

Matematisk er sandsynlighedsdensitetsfunktionen repræsenteret som,

sådan at gennemsnit er lig med 1 / λ og varians er lig med 1 / λ2.

Beregning af den eksponentielle fordeling (trin for trin)

  • Trin 1: Først skal du prøve at finde ud af, om den aktuelle begivenhed er kontinuerlig og uafhængig og forekommer med nogenlunde konstant hastighed. Enhver praktisk begivenhed vil sikre, at variablen er større end eller lig med nul.
  • Trin 2: Bestem derefter værdien af ​​skalaparameteren, som altid er den gensidige af middelværdien.
    • λ = 1 / middelværdi
  • Trin 3: Multiplicer derefter skaleringsparameteren λ og variablen x, og bereg derefter produktets eksponentielle funktion ganget med minus en, dvs. e– λ * x.
  • Trin 4: Endelig beregnes sandsynlighedsdensitetsfunktionen ved at multiplicere den eksponentielle funktion og skalaparameteren.

Hvis ovenstående formel gælder for alle x større end eller lig med nul, er x en eksponentiel fordeling.

Eksempel

Du kan downloade denne Excel-skabelon til eksponentiel distribution her - Eksponentiel distribution Excel-skabelon

Lad os tage eksemplet x, som er den tid, det tager (i minutter) af et kontor til at levere fra lederens skrivebord til kontoristens skrivebord. Funktionen tid taget antages at have en eksponentiel fordeling med den gennemsnitlige tid svarende til fem minutter.

Da x er en kontinuerlig tilfældig variabel, siden tiden måles.

Gennemsnit, μ = 5 minutter

Derfor skaler parameter, λ = 1 / μ = 1/5 = 0,20

Derfor kan den eksponentielle fordelingssandsynlighedsfunktion udledes som,

f (x) = 0,20 e– 0,20 * x

Beregn nu sandsynlighedsfunktionen ved forskellige værdier af x for at udlede distributionskurven.

For x = 0

eksponentiel fordelings sandsynlighedsfunktion for x = 0 vil være,

Beregn ligeledes eksponentiel fordelingssandsandsynlighedsfunktion for x = 1 til x = 30

  • For x = 0, f (0) = 0,20 e -0,20 * 0 = 0,200
  • For x = 1, f (1) = 0,20 e -0,20 * 1 = 0,164
  • For x = 2, f (2) = 0,20 e -0,20 * 2 = 0,134
  • For x = 3, f (3) = 0,20 e -0,20 * 3 = 0,110
  • For x = 4, f (4) = 0,20 e -0,20 * 4 = 0,090
  • For x = 5, f (5) = 0,20 e -0,20 * 5 = 0,074
  • For x = 6, f (6) = 0,20 e -0,20 * 6 = 0,060
  • For x = 7, f (7) = 0,20 e -0,20 * 7 = 0,049
  • For x = 8, f (8) = 0,20 e -0,20 * 8 = 0,040
  • For x = 9, f (9) = 0,20 e -0,20 * 9 = 0,033
  • For x = 10, f (10) = 0,20 e -0,20 * 10 = 0,027
  • For x = 11, f (11) = 0,20 e -0,20 * 11 = 0,022
  • For x = 12, f (12) = 0,20 e -0,20 * 12 = 0,018
  • For x = 13, f (13) = 0,20 e -0,20 * 13 = 0,015
  • For x = 14, f (14) = 0,20 e -0,20 * 14 = 0,012
  • For x = 15, f (15) = 0,20 e -0,20 * 15 = 0,010
  • For x = 16, f (16) = 0,20 e -0,20 * 16 = 0,008
  • For x = 17, f (17) = 0,20 e -0,20 * 17 = 0,007
  • For x = 18, f (18) = 0,20 e -0,20 * 18 = 0,005
  • For x = 19, f (19) = 0,20 e -0,20 * 19 = 0,004
  • For x = 20, f (20) = 0,20 e -0,20 * 20 = 0,004
  • For x = 21, f (21) = 0,20 e -0,20 * 21 = 0,003
  • For x = 22, f (22) = 0,20 e -0,20 * 22 = 0,002
  • For x = 23, f (23) = 0,20 e -0,20 * 23 = 0,002
  • For x = 24, f (24) = 0,20 e -0,20 * 24 = 0,002
  • For x = 25, f (25) = 0,20 e -0,20 * 25 = 0,001
  • For x = 26, f (26) = 0,20 e -0,20 * 26 = 0,001
  • For x = 27, f (27) = 0,20 e -0,20 * 27 = 0,001
  • For x = 28, f (28) = 0,20 e -0,20 * 28 = 0,001
  • For x = 29, f (29) = 0,20 e -0,20 * 29 = 0,001
  • For x = 30, f (30) = 0,20 e -0,20 * 30 = 0,000

Vi har afledt distributionskurven som følger,

Relevans og anvendelse

Selvom antagelsen om en konstant hastighed meget sjældent er opfyldt i de virkelige verdensscenarier, men hvis tidsintervallet vælges på en sådan måde, at hastigheden er nogenlunde konstant, kan den eksponentielle fordeling bruges som en god tilnærmet model. Det har mange andre anvendelser inden for fysik, hydrologi osv.

I statistik og sandsynlighedsteori refererer udtrykket for eksponentiel fordeling til sandsynlighedsfordelingen, der bruges til at definere tiden mellem to på hinanden følgende begivenheder, der sker uafhængigt og kontinuerligt med en konstant gennemsnitshastighed. Det er en af ​​de udbredte kontinuerlige distributioner, og det er strengt relateret til Poisson-fordelingen i Excel.