Normalfordelingsformel (trin for trin-beregninger)

Normalfordelingsformel

Normalfordeling er en symmetrisk fordeling, dvs. positive værdier og fordelingenes negative værdier kan opdeles i lige halvdele, og derfor vil gennemsnit, median og tilstand være ens. Den har to haler, den ene er kendt som højre hale, og den anden er kendt som den venstre hale.

Formlen til beregningen kan repræsenteres som

X ~ N (µ, α)

Hvor

  • N = antal observationer
  • µ = gennemsnit af observationer
  • α = standardafvigelse

I de fleste tilfælde afslører observationer ikke meget i sin rå form. Så det er meget vigtigt at standardisere observationer for at kunne sammenligne det. Det gøres ved hjælp af formlen z-score. Det er nødvendigt at beregne Z-score for en observation.

Ligningen for Z-beregning af den normale fordeling er vist som følger,

Z = (X- µ) / a

Hvor

  • Z = Z-score for observationerne
  • µ = gennemsnit af observationer
  • α = standardafvigelse

Forklaring

En fordeling er normal, når den følger en klokkekurve. Det er kendt som klokkekurven, da det tager form af klokken. En af de vigtigste egenskaber ved en normal kurve er, at den er symmetrisk, hvilket betyder, at de positive værdier og de negative værdier af fordelingen kan opdeles i lige store halvdele. Et andet meget vigtigt kendetegn ved det variable væsen er, at observationerne vil være inden for 1 standardafvigelse fra gennemsnittet 90% af tiden. Observationerne vil være to standardafvigelser fra gennemsnittet 95% af tiden, og det vil være inden for tre standardafvigelser fra gennemsnittet 99% af tiden.

Eksempler

Du kan downloade denne Excel-skabelon for normalfordelingsformel her - Normal skabelon for distribution af Excel

Eksempel nr. 1

Gennemsnittet af vægten for en klasse studerende er 65 kg, og vægtenes standard er 0,5 kg. Hvis vi antager, at fordelingen af ​​afkastet er normal, så lad os fortolke for vægten af ​​de studerende i klassen .

Når en distribution er normal, ligger 68% af den inden for 1 standardafvigelse, 95% ligger inden for 2 standardafvigelser og 99% ligger med 3 standardafvigelser.

Givet,

  • Det gennemsnitlige afkast for vægten er 65 kg
  • Standardafvigelsen vil være 3,5 kg

Så 68% af tiden vil fordelingsværdien være i området som nedenfor,

  • Øvre rækkevidde = 65 + 3,5 = 68,5
  • Nedre rækkevidde = 65-3,5 = 61,5
  • Hver hale vil (68% / 2) = 34%

Eksempel 2

Lad os fortsætte med det samme eksempel. Gennemsnittet af vægten for en studerendes klasse er 65 kg, og standardens vægt er 3,5 kg. Hvis vi antager, at fordelingen af ​​afkastet er normal, så lad os fortolke det for vægten af ​​de studerende i klassen.

Givet,

  • Det gennemsnitlige afkast for vægten er 65 kg
  • Standardafvigelsen vil være 3,5 kg

Så 95% af tiden vil fordelingsværdien være i området som nedenfor,

  • Øvre rækkevidde = 65 + (3,5 * 2) = 72
  • Nedre rækkevidde = 65- (3,5 * 2) = 58
  • Hver hale vil (95% / 2) = 47,5%

Eksempel 3

Lad os fortsætte med det samme eksempel. Gennemsnittet af vægten for en studerendes klasse er 65 kg, og standardens vægt er 3,5 kg. Hvis vi antager, at fordelingen af ​​afkastet er normal, så lad os fortolke det for vægten af ​​de studerende i klassen.

Givet,

  • Det gennemsnitlige afkast for vægten er 65 kg
  • Standardafvigelsen vil være 3,5 kg

Så 99% af tiden vil værdien af ​​fordelingen være i området som nedenfor,

  • Øvre rækkevidde = 65+ (3,5 * 3) = 75,5
  • Nedre rækkevidde = 65- (3,5 * 3) = 54,5
  • Hver hale vil (99% / 2) = 49,5%

Relevans og anvendelse

Normalfordelingen er et meget vigtigt statistisk koncept, da de fleste tilfældige variabler i finansverdenen følger en sådan kurve. Det spiller en vigtig rolle i konstruktionen af ​​porteføljer. Bortset fra finansiering viser det sig, at mange virkelige parametre følger en sådan fordeling. Som for eksempel hvis vi forsøger at finde elevernes højde i en klasse eller vægten af ​​eleverne i en klasse, fordeles observationer normalt. Ligeledes følger karaktererne for en eksamen den samme fordeling. Det hjælper med at normalisere karakterer i en eksamen, hvis de fleste af de studerende scorede under bestået karakter ved at sætte en grænse for kun at sige, at de ikke bestod, der scorede under to standardafvigelser.